C++ 五级 2024 年 12 月

1 单选题（每题 2 分，共 30 分）

第 1 题 下面关于链表和数组的描述，错误的是（ ）。

{{ select(1) }}

• 当数据数量不确定时，为了应对各种可能的情况，需要申请一个较大的数组，可能浪费空间；此时用链表比较合适，大小可动态调整。
• 在链表中访问节点的效率较低，时间复杂度为 $O(n)$。
• 链表插入和删除元素效率较低，时间复杂度为 $O(n)$。
• 链表的节点在内存中是分散存储的，通过指针连在一起。

第 2 题 在循环单链表中，节点的 next 指针指向下一个节点，最后一个节点的 next 指针指向（ ）。

{{ select(2) }}

• 当前节点
• nullptr
• 第一个节点
• 上一个节点

第 3 题 为了方便链表的增删操作，一些算法生成一个虚拟头节点，方便统一删除头节点和其他节点。下面代码实现了删除链表中值为 val 的节点，横线上应填的最佳代码是( )。

struct LinkedNode
{
    int val;
    LinkedNode *next;
    LinkedNode(int val) : val(val), next(nullptr) {}
};

void removeElements(LinkedNode *head, int val)
{
    if (head == nullptr)
    {
        return;
    }
    LinkedNode *cur;
    LinkedNode *dummyHead = new LinkedNode(0); // 虚拟头节点
    ________________________________           // 在此处填入代码
        while (cur->next != nullptr)
    {
        if (cur->next->val == val)
        {
            LinkedNode *tmp = cur->next;
            cur->next = cur->next->next;
            delete tmp;
            tmp = nullptr;
        }
        else
        {
            cur = cur->next;
        }
    }
    head = dummyHead->next;
    delete dummyHead;
    dummyHead = nullptr;
}

{{ select(3) }}

• dummyHead->next = head; cur = dummyHead;
• dummyHead->next = head->next; cur = dummyHead;
• dummyHead->next = head; cur = dummyHead->next;
• dummyHead->next = head->next; cur = dummyHead->next;

第 4 题 对下面两个函数，说法错误的是（ ）。

int fibA(int n)
{
    if (n <= 1)
        return n;

    int f1 = 0, f2 = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        int temp = f2;
        f2 = f1 + f2;
        f1 = temp;
    }
    return f2;
}

int fibB(int n)
{
    if (n <= 1)
        return n;
    return fibB(n - 1) + fibB(n - 2);
}

{{ select(4) }}

• 两个函数的实现的功能相同。
• fibA采用递推方式。
• fibB采用的是递归方式。
• fibA时间复杂度为 $O(n)$，fibB的时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

第 5 题 两块长方形土地的长宽分别为 24 和 36 米，要将它们分成正方形的小块，使得正方形的尺寸尽可能大。小杨采用如下的辗转相除函数 gcd(24, 36) 来求正方形分块的边长，则函数 gcd 调用顺序为（ ）。

int gcd(int a, int b)
{
    int big = a > b ? a : b;
    int small = a < b ? a : b;
    if (big % small == 0)
    {
        return small;
    }
    return gcd(small, big % small);
}

{{ select(5) }}

• gcd(24, 36)、gcd(24, 12)、gcd(12, 0)
• gcd(24, 36)、gcd(12, 24)、gcd(0, 12)
• gcd(24, 36)、gcd(24, 12)
• gcd(24, 36)、gcd(12, 24)

第 6 题 唯一分解定理表明，每个大于1的自然数可以唯一地写成若干个质数的乘积。下面函数将自然数 n 的所有质因素找出来，横线上能填写的最佳代码是（ ）。

#include <vector>
vector<int> get_prime_factors(int n)
{
    vector<int> factors;
    if (n <= 1)
    {
        cout << "输入的数必须是大于1的正整数" << endl;
        return;
    }
    while (n % 2 == 0)
    {
        factors.push_back(2);
        n /= 2;
    }
    ________________________________
    { // 在此处填入代码
        while (n % i == 0)
        {
            factors.push_back(i);
            n /= i;
        }
    }
    if (n > 2)
    {
        factors.push_back(n);
    }
    return factors;
}

{{ select(6) }}

• for (int i = 3; i <= n; i ++)
• for (int i = 3; i * i <= n; i ++)
• for (int i = 3; i <= n; i += 2)
• for (int i = 3; i * i <= n; i += 2)

第 7 题 下述代码实现素数表的埃拉托色尼(埃氏)筛法，筛选出所有小于等于 n 的素数。

vector<int> sieve_Eratosthenes(int n)
{
    vector<bool> is_prime(n + 1, true);
    vector<int> primes;

    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        if (is_prime[i])
        {
            primes.push_back(i);

            for (int j = i * i; j <= n; j += i)
            {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }

    for (int i = sqrt(n) + 1; i <= n; i++)
    {
        if (is_prime[i])
        {
            primes.push_back(i);
        }
    }

    return primes;
}

下面说法，正确的是（ ）。

{{ select(7) }}

• 代码的时间复杂度是 $O(n \sqrt{n})$。
• 在标记非素数时，代码从 $i^2$开始，可以减少重复标记。
• 代码会输出所有小于等于 n 的奇数。
• 调用函数 sieve_Eratosthenes(10) ，函数返回值的数组中包含的元素有： 2, 3, 5, 7, 9 。

第 8 题 下述代码实现素数表的线性筛法，筛选出所有小于等于 n 的素数。下面说法正确的是( )。

vector<int> sieve_linear(int n)
{
    vector<bool> is_prime(n + 1, true);
    vector<int> primes;

    for (int i = 2; i <= n / 2; i++)
    {
        if (is_prime[i])
            primes.push_back(i);

        for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; j++)
        {
            is_prime[i * primes[j]] = 0;
            if (i % primes[j] == 0)
                break;
        }
    }

    for (int i = n / 2 + 1; i <= n; i++)
    {
        if (is_prime[i])
            primes.push_back(i);
    }

    return primes;
}

{{ select(8) }}

• 线性筛的时间复杂度是$O(n)$ 。
• 每个合数会被其所有的质因子标记一次。
• 线性筛和埃拉托色尼筛的实现思路完全相同。
• 以上都不对

第 9 题 考虑以下C++代码实现的快速排序算法：

int partition(vector<int> &arr, int left, int right)
{
    int pivot = arr[right]; // 基准值
    int i = left - 1;

    for (int j = left; j < right; j++)
    {
        if (arr[j] < pivot)
        {
            i++;
            swap(arr[i], arr[j]);
        }
    }
    swap(arr[i + 1], arr[right]);
    return i + 1;
}

// 快速排序
void quickSort(vector<int> &arr, int left, int right)
{
    if (left < right)
    {
        int pi = partition(arr, left, right);
        quickSort(arr, left, pi - 1);
        quickSort(arr, pi + 1, right);
    }
}

以下关于快速排序的说法，正确的是（ ）。

{{ select(9) }}

• 快速排序通过递归对子问题进行求解。
• 快速排序的最坏时间复杂度是 $O(n log n)$ 。
• 快速排序是一个稳定的排序算法。
• 在最优情况下，快速排序的时间复杂度是$O(n)$ 。

第 10 题 下面关于归并排序，描述正确的是（ ）。

{{ select(10) }}

• 归并排序是一个不稳定的排序算法。
• 归并排序的时间复杂度在最优、最差和平均情况下都是$O(n log n)$ 。
• 归并排序需要额外的$O(1)$ 空间。
• 对于输入数组 {12, 11, 13, 5, 6, 7}，代码输出结果为：7 6 5 13 12 11。

第 11 题 给定一个长度为 $n$ 的有序数组 nums ，其中所有元素都是唯一的。下面的函数返回数组中元素 target 的索引。

int binarySearch(vector<int> &nums, int target, int left, int right)
{
    if (left > right)
    {
        return -1;
    }

    int middle = left + ((right - left) / 2);
    if (nums[middle] == target)
    {
        return middle;
    }
    else if (nums[middle] < target)
    {
        return binarySearch(nums, target, middle + 1, right);
    }
    else
        return binarySearch(nums, target, left, middle - 1);
}

int Find(vector<int> &nums, int target)
{
    int n = nums.size();
    return binarySearch(nums, target, 0, n - 1);
}

关于上述函数，描述不正确的是（ ）。

{{ select(11) }}

• 函数采用二分查找，每次计算搜索当前搜索区间的中点，然后根据中点的元素值排除一半搜索区间。
• 函数采用递归求解，每次问题的规模减小一半。
• 递归的终止条件是中间元素的值等于 target ，若数组中不包含该元素，递归不会终止。
• 算法的复杂度为 $O(log n)$.

第 12 题 给定一个长度为 $n$ 的有序数组 nums ，其中可能包含重复元素。下面的函数返回数组中某个元素 target 的左边界，若数组中不包含该元素，则返回 −1 。例如在数组 nums = [5,7,7,8,8,10] 中查找 target=8 ，函数返回 8 在数组中的左边界的索引为 3。则横线上应填写的代码为（ ）。

int getLeftBoundary(vector<int> &nums, int target)
{
    int left = 0;
    int right = nums.size() - 1;

    while (left < right)
    {
        int middle = left + ((right - left) / 2);
        if (target <= nums[middle])
            ________________________________ // 在此处填入代码
                else left = middle + 1;
    }

    return nums[left] == target ? left : -1;
}

{{ select(12) }}

• right = middle - 1;
• right = middle;
• right = middle + 1;
• 以上都不对

第 13 题 假设有多个孩子，数组 g 保存所有孩子的胃口值。有多块饼干，数组 s 保存所有饼干的尺寸。小杨给孩子们发饼干，每个孩子最多只能给一块饼干。饼干的尺寸大于等于孩子的胃口时，孩子才能得到满足。小杨的目标是尽可能满足越多数量的孩子，因此打算采用贪心算法来找出能满足的孩子的数目，则横线上应填写的代码为（ ）。

int cooki4children(vector<int> &g, vector<int> &s)
{
    sort(g.begin(), g.end());
    sort(s.begin(), s.end());

    int index = s.size() - 1; // 饼干数组下标
    int result = 0;
    for (int i = g.size() - 1; i >= 0; i--)
    {
        if (index >= 0 && s[index] >= g[i])
        {
            ________________________________ // 在此处填入代码
        }
    }
    return result;
}

{{ select(13) }}

• result++; index--;
• result--; index--;
• result--; index++;
• result++; index++;

第 14 题 关于分治算法，以下说法中不正确的是（ ）。

{{ select(14) }}

• 分治算法将问题分成子问题，然后分别解决子问题，最后合并结果。
• 归并排序采用了分治思想。
• 快速排序采用了分治思想。
• 冒泡排序采用了分治思想。

第 15 题 小杨编写了一个如下的高精度减法函数：

vector<int> highPrecisionSubtract(vector<int> a, vector<int> b)
{
    vector<int> result;
    int borrow = 0;

    for (int i = 0; i < a.size(); ++i)
    {
        int digitA = a[i];
        int digitB = i < b.size() ? b[i] : 0;

        int diff = digitA - digitB - borrow;
        if (diff < 0)
        {
            diff += 10;
            borrow = 1;
        }
        else
        {
            borrow = 0;
        }
        result.push_back(diff);
    }

    while (result.size() > 1 && result.back() == 0)
    {
        result.pop_back();
    }

    return result;
}

下面说法，正确的是（ ）。

{{ select(15) }}

• 如果数组 a 表示的整数小于 b 表示的整数，代码会正确返回二者的差为负数。
• 代码假设输入数字是以倒序存储的，例如 500 存储为 {0, 0, 5} 。
• 代码的时间复杂度为$O(a.size() + b.size())$
• 当减法结果为 0 时，结果数组仍然会存储很多个元素 0。

2 判断题（每题 2 分，共 20 分）

第 1 题 单链表只支持在表头进行插入和删除操作。

{{ select(16) }}

• 对
• 错

第 2 题 线性筛相对于埃拉托斯特尼筛法，每个合数只会被它的最小质因数筛去一次，因此效率更高。

{{ select(17) }}

• 对
• 错

第 3 题 任何一个大于1的自然数都可以分解成若干个不同的质数的乘积，且分解方式是唯一的。

{{ select(18) }}

• 对
• 错

第 4 题 贪心算法通过每一步选择当前最优解，从而一定能获得全局最优解。

{{ select(19) }}

• 对
• 错

第 5 题 递归算法必须有一个明确的结束条件，否则会导致无限递归并可能引发栈溢出。

{{ select(20) }}

• 对
• 错

第 6 题 快速排序和归并排序的平均时间复杂度均为$O(n log n)$ ，且都是稳定排序。

{{ select(21) }}

• 对
• 错

第 7 题 快速排序的时间复杂度总比插入排序的时间复杂度低。

{{ select(22) }}

• 对
• 错

第 8 题 二分查找仅适用于数组而不适合链表，因为二分查找需要跳跃式访问元素，链表中执行跳跃式访问的效率低。

{{ select(23) }}

• 对
• 错

第 9 题 对有序数组 {5,13,19,21,37,56,64,75,88,92,100} 进行二分查找，成功查找元素 19 的比较次数是2。

{{ select(24) }}

• 对
• 错

第 10 题 递归函数每次调用自身时，系统都会为新开启的函数分配内存，以存储局部变量、调用地址和其他信息等，导致递归通常比迭代更加耗费内存空间。

{{ select(25) }}

• 对
• 错