C++ 五级

2025 年 09 月

1 单选题（每题 2 分，共 30 分）

第 1 题 以下哪种情况使用链表比数组更合适？

{{ select(1) }}

• 数据量固定且读多写少
• 需要频繁在中间或开头插入、删除元素
• 需要高效随机访问元素
• 存储空间必须连续

第 2 题 函数 removeElements 删除单链表中所有结点值等于 val 的结点，并返回新的头结点，其中链表头结点为head ，则横线处填写（ ）。

// 结点结构体
struct Node {
  int val;
  Node* next;
  Node() : val(0), next(nullptr) {}
  Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
  Node(int x, Node* next) : val(x), next(next) {}
};
Node* removeElements(Node* head, int val) {
  Node dummy(0, head); // 哑结点，统一处理头结点
  Node* cur = &dummy;
  while (cur->next) {
    if (cur->next->val == val) {
      _______________________ // 在此填入代码
    }
    else {
      cur = cur->next;
    }
  }
  return dummy.next;
}

//A:
Node* del = cur;
cur = del->next;
delete del;

//B:
Node* del = cur->next;
cur->next = del;
delete del;

//C:
Node* del = cur->next;
cur->next = del->next;
delete del;

//D:
Node* del = cur->next;
delete del;
cur->next = del->next;

{{ select(2) }}

• A
• B
• C
• D

第 3 题 函数 hasCycle 采用Floyd快慢指针法判断一个单链表中是否存在环，链表的头节点为 head ，即用两个指针在链表上前进： slow 每次走 1 步， fast 每次走 2 步，若存在环， fast 终会追上 slow （相遇）；若无环，fast 会先到达 nullptr，则横线上应填写（ ）。

struct Node {
  int val;
  Node* next;
  Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
};
bool hasCycle(Node* head) {
  if (!head || !head->next)
    return false;
  Node* slow = head;
  Node* fast = head->next;
  while (fast && fast->next) {
    if (slow == fast) return true;
    _______________________ // 在此填入代码
  }
  return false;
}

//A:
slow = slow->next;
fast = fast->next->next;

//B:
slow = fast->next;
fast = slow->next->next;

//C:
slow = slow->next;
fast = slow->next->next;

//D:
slow = fast->next;
fast = fast->next->next;

{{ select(3) }}

• A
• B
• C
• D

第 4 题 函数 isPerfectNumber 判断一个正整数是否为完全数（该数是否即等于它的真因子之和），则横线上应填写（ ）。一个正整数 n 的真因子包括所有小于 n 的正因子，如28的真因子为1, 2, 4, 7, 14。

bool isPerfectNumber(int n) {
  if (n <= 1) return false;
  int sum = 1;
  for (int i = 2; ______; i++) {
    if (n % i == 0) {
      sum += i;
      if (i != n / i) sum += n / i;
    }
  }
  return sum == n;
}

{{ select(4) }}

• i <= n
• i*i <= n
• i <= n/2
• i < n

第 5 题 以下代码计算两个正整数的最大公约数(GCD)，横线上应填写（ ）。

int gcd0(int a, int b) {
    if (a < b) {
        swap(a, b);
    }
    while (b != 0) {
        int temp = a % b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return ______;
}

{{ select(5) }}

• b
• a
• temp
• a * b

第 6 题 函数 sieve 实现埃拉托斯特尼筛法(埃氏筛)，横线处应填入（ ）。

vector<bool> sieve(int n) {
    vector<bool> is_prime(n + 1, true);
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            for (int j = ______; j <= n; j += i) {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }
    return is_prime;
}

{{ select(6) }}

• i
• i+1
• i*2
• i*i

第 7 题 函数 linearSieve 实现线性筛法(欧拉筛)，横线处应填入（ ）。

vector<int> linearSieve(int n) {
    vector<bool> is_prime(n + 1, true);
    vector<int> primes;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) primes.push_back(i);
        for (int p : primes) {
            if (p * i > n) break;
            is_prime[p * i] = false;
            if (________) break;
        }
    }
    return primes;
}

{{ select(7) }}

• i % p == 0
• p % i == 0
• i == p
• i * p == n

第 8 题 关于 埃氏筛 和 线性筛 的比较，下列说法错误的是（ ）。

{{ select(8) }}

• 埃氏筛可能会对同一个合数进行多次标记
• 线性筛的理论时间复杂度更优，所以线性筛的速度往往优于埃氏筛
• 线性筛保证每个合数只被其最小质因子筛到一次
• 对于常见范围（$n \le 10^7$），埃氏筛因实现简单，常数较小，其速度往往优于线性筛

第 9 题 唯一分解定理描述的是( )。

{{ select(9) }}

• 每个整数都能表示为任意素数的乘积
• 每个大于 1 的整数能唯一分解为素数幂乘积（忽略顺序）
• 合数不能分解为素数乘积
• 素数只有两个因子：1 和自身

第 10 题 给定一个 n x n 的矩阵 matrix ，矩阵的每一行和每一列都按升序排列。函数 countLE 返回矩阵中第 k 小的元素，则两处横线上应分别填写（ ）。

// 统计矩阵中 <= x 的元素个数：从左下角开始
int countLE(const vector<vector<int>>& matrix, int x) {
    int n = (int)matrix.size();
    int i = n - 1, j = 0, cnt = 0;
    while (i >= 0 && j < n) {
        if (matrix[i][j] <= x) {
            cnt += i + 1;
            ++j;
        }
        else {
            --i;
        }
    }
    return cnt;
}
int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
    int n = (int)matrix.size();
    int lo = matrix[0][0];
    int hi = matrix[n - 1][n - 1];
    while (lo < hi) {
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        if (countLE(matrix, mid) >= k) {
            ________________ // 在此处填入代码
        }
        else {
            ________________ // 在此处填入代码
        }
    }
    return lo;
}

//A:
hi = mid - 1;
lo = mid + 1;

//B:
hi = mid;
lo = mid;

//C:
hi = mid;
lo = mid + 1;

//D:
hi = mid + 1;
lo = mid;

{{ select(10) }}

• A
• B
• C
• D

第 11 题 下述C++代码实现了快速排序算法，下面说法错误的是（ ）。

int partition(vector<int>& arr, int low, int high) {
    int i = low, j = high;
    int pivot = arr[low]; // 以首元素为基准
    while (i < j) {
        while (i < j && arr[j] >= pivot) j--; //从右往左查找
        while (i < j && arr[i] <= pivot) i++; //从左往右查找
        if (i < j) swap(arr[i], arr[j]);
    }
    swap(arr[i], arr[low]);
    return i;
}
void quickSort(vector<int>& arr, int low, int high) {
    if (low >= high) return;
    int p = partition(arr, low, high);
    quickSort(arr, low, p - 1);
    quickSort(arr, p + 1, high);
}

{{ select(11) }}

• 快速排序之所以叫“快速”，是因为它在平均情况下运行速度较快，常数小、就地排序，实践中通常比归并排序更高效。
• 在平均情况下，划分的递归层数为 $log n$，每层中的总循环数为 $n$，总时间为 $O(n log n)$ 。
• 在最差情况下，每轮划分操作都将长度为 的数组划分为长度为 0 和 $n-1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ ，每层中的循环数为 $n$ ，总时间为 $O(n^2)$。
• 划分函数 partition 中“从右往左查找”与“从左往右查找”的顺序可以交换。

第 12 题 下述C++代码实现了归并排序算法，则横线上应填写（ ）。

void merge(vector<int>& nums, int left, int mid, int right) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    vector<int> tmp(right - left + 1);
    int i = left, j = mid + 1, k = 0;
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (nums[i] <= nums[j])
            tmp[k++] = nums[i++];
        else
            tmp[k++] = nums[j++];
    }
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = nums[i++];
    }
    while (________) { // 在此处填入代码
        tmp[k++] = nums[j++];
    }
    for (k = 0; k < tmp.size(); k++) {
        nums[left + k] = tmp[k];
    }
}
void mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right) {
    if (left >= right)
        return;
    int mid = (left + right) / 2;
    mergeSort(nums, left, mid);
    mergeSort(nums, mid + 1, right);
    merge(nums, left, mid, right);
}

{{ select(12) }}

• i < mid
• j < right
• i <= mid
• j <= right

第 13 题 假设你是一家电影院的排片经理，只有一个放映厅。你有一个电影列表 movies ，其中 movies[i] =[start_i, end_i] 表示第 i 部电影的开始和结束时间。请你找出最多能安排多少部不重叠的电影，则横线上应分别填写的代码为（ ）。

int maxMovies(vector<vector<int>>& movies) {
    if (movies.empty()) return 0;
    sort(movies.begin(), movies.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b) {
        return ______; // 在此处填入代码
        });
    int count = 1;
    int lastEnd = movies[0][1];
    for (int i = 1; i < movies.size(); i++) {
        if (movies[i][0] >= lastEnd) {
            count++;
            ______ = movies[i][1]; // 在此处填入代码
        }
    }
    return count;
}

{{ select(13) }}

• a[0] < b[0] 和 lastEnd
• a[1] < b[1] 和 lastEnd
• a[0] < b[0] 和 movies[i][0]
• a[1] < b[1] 和 movies[i][0]

第 14 题 给定一个整数数组 nums ，下面代码找到一个具有最大和的连续子数组，并返回该最大和。则下面说法错误的是（ ）。

int crossSum(vector<int>& nums, int left, int mid, int right) {
    int leftSum = INT_MIN, rightSum = INT_MIN;
    int sum = 0;
    for (int i = mid; i >= left; i--) {
        sum += nums[i];
        leftSum = max(leftSum, sum);
    }
    sum = 0;
    for (int i = mid + 1; i <= right; i++) {
        sum += nums[i];
        rightSum = max(rightSum, sum);
    }
    return leftSum + rightSum;
}
int helper(vector<int>& nums, int left, int right) {
    if (left == right)
        return nums[left];
    int mid = left + (right - left) / 2;
    int leftMax = helper(nums, left, mid);
    int rightMax = helper(nums, mid + 1, right);
    int crossMax = crossSum(nums, left, mid, right);
    return max({ leftMax, rightMax, crossMax });
}
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    return helper(nums, 0, nums.size() - 1);
}

{{ select(14) }}

• 上述代码采用分治算法实现
• 上述代码采用贪心算法
• 上述代码时间复杂度为 $O(n log n)$
• 上述代码采用递归方式实现

第 15 题 给定一个由非负整数组成的数组 digits ，表示一个非负整数的各位数字，其中最高位在数组首位，且digits 不含前导0（除非是0本身）。下面代码对该整数执行 +1 操作，并返回结果数组，则横线上应填写（ ）。

vector<int> plusOne(vector<int>& digits) {
    for (int i = (int)digits.size() - 1; i >= 0; --i) {
        if (digits[i] < 9) {
            digits[i] += 1;
            return digits;
        }
        ________________ // 在此处填入代码
    }
    digits.insert(digits.begin(), 1);
    return digits;
}

//A:
digits[i] = 0; 

//B:
digits[i] = 9; 

//C:
digits[i] = 1; 

//D:
digits[i] = 10; 

{{ select(15) }}

• A
• B
• C
• D

2 判断题（每题 2 分，共 20 分）

第 1 题 基于下面定义的函数，通过判断 isDivisibleBy9(n) == isDigitSumDivisibleBy9(n) 代码可验算如果一个数能被9整除，则它的各位数字之和能被9整除。

bool isDivisibleBy9(int n) {
    return n % 9 == 0;
}
bool isDigitSumDivisibleBy9(int n) {
    int sum = 0;
    string numStr = to_string(n);
    for (char c : numStr) {
        sum += (c - '0');
    }
    return sum % 9 == 0;
}

{{ select(16) }}

• 对
• 错

第 2 题 假设函数 gcd() 能正确求两个正整数的最大公约数，则下面的 findMusicalPattern(4，6) 函数返回2。

void findMusicalPattern(int rhythm1, int rhythm2) {
    int commonDivisor = gcd(rhythm1, rhythm2);
    int patternLength = (rhythm1 * rhythm2) / commonDivisor;
    return patternLength;
}

{{ select(17) }}

• 对
• 错

第 3 题 下面递归实现的斐波那契数列的时间复杂度为 $O(2^n)$ 。

long long fib_memo(int n, long long memo[]) {
    if (n <= 1) return n;
    if (memo[n] != -1) return memo[n];
    memo[n] = fib_memo(n - 1, memo) + fib_memo(n - 2, memo);
    return memo[n];
}
int main() {
    int n = 40;
    long long memo[100];
    fill_n(memo, 100, -1);
    long long result2 = fib_memo(n, memo);
    return 0;
}

{{ select(18) }}

• 对
• 错

第 4 题 链表通过更改指针实现高效的结点插入与删除，但结点访问效率低、占用内存较多，且对缓存利用不友好。

{{ select(19) }}

• 对
• 错

第 5 题 二分查找依赖数据的有序性，通过循环逐步缩减一半搜索区间来进行查找，且仅适用于数组或基于数组实现的数据结构。

{{ select(20) }}

• 对
• 错

第 6 题 线性筛关键是“每个合数只会被最小质因子筛到一次”，因此为 $O(n)$ 。

{{ select(21) }}

• 对
• 错

第 7 题 快速排序和归并排序都是稳定的排序算法。

{{ select(22) }}

• 对
• 错

第 8 题 下面代码采用分治算法求解标准 3 柱汉诺塔问题，时间复杂度为 $O(n log n)$。

void move(vector<int>& src, vector<int>& tar) {
    int pan = src.back();
    src.pop_back();
    tar.push_back(pan);
}

void dfs(int n, vector<int>& src, vector<int>& buf, vector<int>& tar) {
    if (n == 1) {
        move(src, tar);
        return;
    }
    dfs(n - 1, src, tar, buf);
    move(src, tar);
    dfs(n - 1, buf, src, tar);
}

void solveHanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C) {
    int n = - size();
    dfs(n, A, B, C);
}

{{ select(23) }}

• 对
• 错

第 9 题 所有递归算法都可以转换为迭代算法。

{{ select(24) }}

• 对
• 错

第 10 题 贪心算法总能得到全局最优解。

{{ select(25) }}

• 对
• 错