一、单选题（每题 2 分，共 30 分）

第 1 题 从 $7$ 本不同的算法书和 $5$ 本不同的数学书中选出 $4$ 本，要求两类书都至少选 $1$ 本，共有（ ）种不同选法。

{{ select(1) }}

• 420
• 455
• 465
• 495

第 2 题 $6$ 个人排成一排照相，其中甲、乙两人不能相邻，共有（ ）种不同排法。

{{ select(2) }}

• 240
• 480
• 600
• 720

第 3 题 展开式 $(x^2 - \frac{1}{x})^6$ 中，常数项的系数为（ ）。

{{ select(3) }}

• 6
• 12
• 15
• 20

第 4 题 下面代码用于预处理组合数，横线处应填入的是（ ）。

for (int i = 0; i <= n; i++) {
	c[i][0] = c[i][i] = 1;
	for (int j = 1; j < i; j++)
		c[i][j] = __________;
}

{{ select(4) }}

• c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]
• c[i][j - 1] + c[i - 1][j - 1]
• c[i - 1][j] + c[i][j + 1]
• c[i][j - 1] * c[i - 1][j]

第 5 题 下列程序输出的值为（ ）。

#include <iostream>
using namespace std;
long long qpow(long long a, long long b, long long mod) {
	long long ans = 1 % mod;
	while (b) {
		if (b & 1)
			ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
int main() {
	cout << qpow(3, 20, 17) << endl;
	return 0;
}

{{ select(5) }}

• 1
• 4
• 13
• 16

第 6 题 归并排序每次把长度为 $n$ 的序列分成两个规模约为 $n/2$ 的子序列，递归排序后再用线性时间合并。该算法的时间复杂度通常为（ ）。

{{ select(6) }}

• $O(n)$
• $O(n^2)$
• $O(logn)$
• $O(nlogn)$

第 7 题 在平面直角坐标系中，三角形三个顶点为 $A(1,1) 、B(5,2) 、C(3,6)$，该三角形面积为（ ）。

{{ select(7) }}

• 9
• 10
• 12
• 18

第 8 题 某程序需要判断点 $P(x,y)$ 是否在以原点为圆心、半径为 $5$ 的圆内或圆上。下列判断条件正确的是（ ）。

{{ select(8) }}

• x * x + y * y <= 25
• abs(x) + abs(y) <= 5
• x * x - y * y <= 25
• x + y <= 5

第 9 题 某无向带权图有边 $(1,2,4) 、(1,3,2) 、(2,3,1) 、(2,4,5) 、(3,4,8) 、(3,5,10) 、(4,5,2)$ 。该图最小生成树的总权值为（ ）。

{{ select(9) }}

• 7
• 8
• 9
• 10

第 10 题 有向非负权图边为 $1->2(3) 、2->4(4) 、1->3(10) 、3->4(1) 、2->3(2)$。使用 Dijkstra 算法从 $1$ 号顶点出发到 $4$ 号顶点的最短距离为（ ）。

{{ select(10) }}

• 6
• 7
• 8
• 11

第 11 题 下列代码片段的时间复杂度为（ ）。

long long s = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 1; j * j <= n; j++) {
		s += i + j;
	}
}

{{ select(11) }}

• $O(n)$
• $O(nlogn)$
• $O(n \sqrt {n})$
• $O(n^2)$

第 12 题 某优化问题的答案是 $[1,M]$ 内的整数，存在单调判定函数 check(x) ，且每次判定的时间复杂度为$O(n)$。使用二分答案求最小可行值，整体时间复杂度通常为（ ）。

{{ select(12) }}

• $O(nM)$
• $O(nlogM)$
• $O(Mlogn)$
• $O(n+M)$

第 13 题 下列线性筛的代码片段中，当枚举到质数 p 且 i % p == 0 时，使用 break; 语句停止继续枚举。这样做的主要目的是（ ）。

for (int i = 2; i <= n; ++i) {
	if (!is_composite[i])
		primes.push_back(i);
	for (int p : primes) {
		if (i * p > n)
			break;
		is_composite[i * p] = true;
		if (i % p == 0)
			break; // 这条语句的目的是？
	}
}

{{ select(13) }}

• 保证递归深度不超过 $O(logn)$ 。
• 保证每个合数只被它的最小质因子筛去一次。
• 保证每个素数都被标记为合数。
• 把筛法时间复杂度提高到 $O(nlogn)$。

第 14 题 在 C++ 中，关于类的继承和构造、析构顺序，下列说法正确的是（ ）。

{{ select(14) }}

• 派生类可以直接访问基类的 private 成员。
• 基类的 protected 成员在私有继承后会变成派生类的 public 成员。
• 创建派生类对象时，会先调用基类构造函数，再调用派生类构造函数。
• 销毁派生类对象时，会先调用基类析构函数，再调用派生类析构函数。

第 15 题 将 $4$ 个元素按 $1,2,3,4$ 的顺序入栈，在该过程中可随时插入出栈操作。下列序列中不可能作为出栈序列的是（ ）。

{{ select(15) }}

• $1,2,3,4$
• $2,1,4,3$
• $3,2,1,4$
• $3,1,2,4$

二、判断题（每题 2 分，共 20 分）

第 16 题 若一项任务可从两种互斥的方案中选择一种完成，其中，方案 $A$ 有 $m$ 种做法，方案 $B$ 有 $n$ 种做法，则总做法数为 $m+n$ 。

{{ select(16) }}

• 正确
• 错误

第 17 题 将 $n$ 个不同元素围成一圈，若只把旋转视为同一种排法、翻转仍视为不同排法，则方案数为 $(n-1)!$。

{{ select(17) }}

• 正确
• 错误

第 18 题 从 $n$ 个不同元素中可重复地选取 $k$ 个且不考虑顺序，方案数为 $C(n+k,k)$ 。

{{ select(18) }}

• 正确
• 错误

第 19 题 杨辉三角中的组合数满足 $C(n,k) = C(n-1,k)+C(n-2,k)$。 {{ select(19) }}

• 正确
• 错误

第 20 题 快速幂通过二进制拆分指数，可以在 $O(logb)$ 时间内计算 $a^b \ mod \ m$ 。 {{ select(20) }}

• 正确
• 错误

第 21 题 只要图中不存在负权环，Dijkstra 算法就一定能正确处理带负权边的图。 {{ select(21) }}

• 正确
• 错误

第 22 题 若一张连通无向图所有边权两两不同，则它的最小生成树一定唯一。

{{ select(22) }}

• 正确
• 错误

第 23 题 判断点 $(x,y)$ 是否在以原点为圆心、半径为 $r$ 的圆内或圆上时，可以比较 $x^2+y^2$ 与 $r^2$ ，不必先开平方。

{{ select(23) }}

• 正确
• 错误

第 24 题 若能写出判定函数 check(x) ，表示“答案为 x 时是否可行”，即使 check(x) 不满足单调性，也一定可以使用二分答案求最优解。

{{ select(24) }}

• 正确
• 错误

第 25 题 归并排序是一种稳定排序算法，常见实现的时间复杂度为 $O(nlogn)$。

{{ select(25) }}

• 正确
• 错误